МЭ по математике 7-11 класс (27.11.2024), ответы?

7 класс

Задание 1. Найдите две последние цифры числа (1! + 2! + 3!+. . . +100!)2. Здесь n! = 1∙2∙3∙…∙n, например, 6! = 1∙2∙3∙4∙5∙6=720.
Решение:
(1! + 2! + 3!+. . .100!)2 = (100т + 13)(100т + 13) = 10000𝑚2 + 26 * 100𝑚 + 169
Ответ: 69.

Задание 2. Стороны прямоугольника равны 28 см и 30 см. Внутри него расположены 4 одинаковых
прямоугольных треугольника, образующие закрашенную фигуру. Найдите площадь закрашенной фигуры.
Решение:
2*14*2=56
Ответ: 56

Задание 3. Пусть для натуральных чисел x и y операция xy означает остаток от деления x на y. Например, 176=5, 617=6. Найдите все натуральные решения уравнения х7 + 7х = 12, удовлетворяющие неравенству 2016 < х < 2044
Решение:
Так как число x>7, то 7x=7. Тогда x7+7 =12, x7=5, откуда x=7k+5. Числа такого вида в заданном промежутке: 2023, 2030, 2037.
Ответ: 2023, 2030, 2037.

Задание 5. На доске написано число 2. Петя и Ваня играют в игру. За один ход следует прибавить к числу на доске другое натуральное число, меньшее написанного, стереть старое число и написать вместо него новое. Выигрывает тот, кто первым получит число 2023. Кто победит при правильной игре, если первым ходит Петя?
Решение. Если после первого хода Петя напишет 3, далее 7, 15, 31, 63, 126, 252, 505, 1011, 2023.
Ответ: Победит Петя.

8 класс

Задание 1. Найдите наименьшее натуральное 𝑛 такое, что
Ответ: 4.

Задание 2. В очереди в буфет стоят несколько семиклассников и восьмиклассников. Если бы каждый семиклассник купил по 3 булочки, а каждый восьмиклассник — по 1, то в буфете осталось бы 13 булочек. А если бы каждый семиклассник купил по 1 булочке, а каждый восьмиклассник — по 3, то в буфете осталось бы 27 булочек. Сколько булочек осталось бы в буфете, если бы каждый из школьников купил по 2 булочки?
Решение:
Если каждый семиклассник покупает по 3 булочки, а каждый восьмиклассник — по 1, то из условия задачи получаем: B−3S−V=13(1)
Если каждый семиклассник покупает по 1 булочке, а каждый восьмиклассник — по 3, то: B−S−3V=27(2)
Теперь решим систему уравнений (1) и (2).
Из уравнения (1) выразим B: B=3S+V+13(3)
Подставим B из (3) в (2): 3S+V+13−S−3V=27 Упростим: 2S−2V+13=27 2S−2V=14⇒S−V=7(4)
Теперь выражаем V через S из (4): V=S−7
Подставляем в (3): B=3S+(S−7)+13=4S+6
Теперь найдем количество булочек, если каждый купит по 2 булочки:
Оставшиеся булочки = B−2S−2V=B−2S−2(S−7)=B−4S+14
Подставим B=4S+6: (4S+6)−4S+14=20
Ответ: осталось 20 булочек.

Задание 3. Натуральное число 𝑘 ⩽ 100 таково, что 𝑘𝑘 является точным квадратом. Сколько различных значений может принимать 𝑘?
Ответ: 55.

Задание 4. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 с углом 𝐵, равным 60∘ , проведены биссектрисы 𝐴𝑌 и 𝐶𝑋.
На отрезках 𝐴𝑋 и 𝐶𝑌 отмечены точки 𝐾 и 𝑁 так, что 𝐾𝑁 ∥ 𝐴𝐶. Прямая 𝐾𝑁 пересекает отрезки 𝐶𝑋 и𝐴𝑌 в точках 𝐿 и 𝑀 соответственно. Оказалось, что 𝐾𝐿 = 𝐿𝑀 = 𝑀𝑁. Известно, что 𝐾𝑁 = 9.
(а) Найдите длину отрезка 𝐶𝑁.
(б) Найдите длину отрезка 𝐴𝐶.
Ответ: (а) 6. (б) 15.

9 класс

Задание 1. Что больше 2023^4048 + 2024^4046 или 2^2024 * 2023^2024 * 1012^2023?
Ответ: первое число больше.

Задание 2. На доске написана дробь 437 \ 444. Каждую секунду к числителю дроби добавляют
натуральное число n, меньшее 40, а из знаменателя вычитают это же число n. Через какое наименьшее время могло оказаться так, что полученная дробь равна целому числу?
Решение:
1) 444-nx=1, nx=443 — простое число, с учетом того, что n<40 получаем, что в данном случае наименьшее значение х=443 (при п=1).
2) 444-nx=-1, nx=445=5-89, с учетом того, что n<40 получаем, что в данном случае наименьшее значение x=89 (при п=5).
3) 444-nx=-881, nx=1325=52-53, с учетом того, что n<40 получаем, что наименьшее значение х= 53 (при п=25).
Следовательно, наименьшее значение x=53.
Ответ: 53

Задание 3. Известно, что квадратный трехчлен 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 имеет два положительных корня, один из которых больше 1, а другой меньше 1. Сколько корней может иметь квадратный трехчлен (𝑎 + с)𝑥 2 + (𝑎 + 𝑏)𝑥 + (𝑏 + 𝑐)?
Решение:
Рассмотрим случай, когда a<0. Так как квадратный трехчлен f(x) = ax2 + bx + с имеет два положительных корня один из которых больше 1, другой меньше 1, то f(0)=c<0 и f(1)=a+b+c>0. Следовательно a+c<0 и для квадратного трехчлена g(x) = (a + c)x2 + (a + b)x + (b + c) g(l)=(a+c)+(a+b)+(b+c)=2-(a+b+c) >0 при a+c<0. Следовательно, он имеет два корня.
Ответ: два корня

10 класс

Задание 1. Сколько всего шестизначных натуральных чисел, десятичная запись которых не содержит цифры 5 и каждая последующая цифра меньше предыдущей?
Решение:
Посчитаем количество таких способов вычеркивания- это количество сочетаний из 9-ти по 3(так как цифру 5 вычеркиваем 9! 7-8-9 обязательно), или численно,C= = 84 способами. 3!(9-3)! 1-2-3 Можно первоначально рассмотреть девятизначное число 987643210 с «удаленной» заранее цифрой «5» и вычеркивать любые 3 цифры, после чего остаётся б-значное число, удовлетворяющее условию задачи. Подсчет такой же, = 84.
Ответ: 84 числа.

Задание 2. Решите уравнение в целых числах: 19𝑎3 − 7𝑏2 = 2024.
Ответ: решений нет (пустое множество).

Задание 3. Рассматриваются все трапеции площади 1, длины диагоналей которых 𝑑1 и
𝑑2, 𝑑1 ≥ 𝑑2. Какова наименьшая возможная длина диагонали 𝑑1 у таких трапеций? (Напомним, что трапецией является выпуклый четырехугольник, две стороны которого параллельны, две другие – не параллельны).
Решение:
Заметим, что крайнее значение v2 в оценке может достигаться при одновременно выполненных условиях d1 = d2 и ф = 90°. Таким образом, если найдется пример такой трапеции, то ответом к задаче будет значение v2. Действительно, такая трапеция равнобокая существует: с высотой h = 1 и основаниями а = 1/2, b = 3/2
Ответ: √2.

11 класс

Задание 1. У математика есть банковская карта с четырехзначным ПИН-кодом, состоящим из ненулевых цифр. Известно, что если ПИН-код карты умножить на 6 и поделить на 5, то получится число из тех же цифр, но в обратном порядке. Найдите все возможные значения такого ПИН-кода.
Решение:
Очевидно цифра а — чётная и меньше цифры d. С другой стороны, а + 1 2/d > 4, следовательно, a = 4. Имеем 6(4000 + 100b + 10c + 5) = 5(5000 + 100c + 10b +4).
Отсюда 550b — 440c = 990, 5b — 4c = 9, или 5(b — 1) = 4(c + 1)
Следовательно, b = 5, с = 4 или b = 9, c = 9.
Ответ. x = 4545 или 4995.

Задание 2. Приведите пример такого многочлена третьей степени с целыми
коэффициентами, для которого иррациональное число 𝑎 =√2023 − √2022 ∙ 2024 3√2023 + √2022 ∙ 2024 3является корнем.
Решение:
Заметим, что 2022-2024 (2023-1) (2023+1)=20232-1, тогда число a = /2023 — V2022 * 2024+/2023 + /2022 * 2024 можно представить в виде: = b + — , где b = v2023 + v20232 — 1. Теперь воспользуемся тождеством (b + 23 = b3 + +3(b + 2), при этом b3 + = 22023. Следовательно, a3 = (b + =)3 = 2 * 2023 + За или а3 — За — 4046 = 0.
Ответ. P(x) = x3 — 3x — 4046

Задание 3. Пусть квадратные трёхчлены g(x) и h(x) удовлетворяют неравенству g'(x)h'(x) ≥ |g(x)| + |h(x)| при всех действительных x. Найдите наименьшее значение функции f(x)=g(x)∙h(x) на всей числовой оси.
Решение:
По аналогичным соображениям d = 0, поэтому из предыдущего равенства следует, что x1 = x2.
Так как 4ac(x – x1)² ≥ 0 при всех x, то ac > 0.
Поэтому f(x)=g(x)h(x)=ac(x-x1) 4 и наименьшее значение f(x) равно 0.
Ответ. 0.

Задание 4. В гостинице из 2023 одноместных комнат действуют правила: 1) каждый номер сдается ровно на сутки; 2) внутри каждой комнаты висит табличка с номером другой комнаты, в которую можно переехать из текущей. В понедельник в 12.00 в гостиницу заселились 2023 жителя и, соблюдая правила проживания, провели там m дней (m>1). Оказалось, что последние сутки пребывания в отеле они провели в тех же номерах, в которые заселились изначально; при этом каждый гость успел пожить в m-1 разных комнатах. За какое наименьшее количество дней это могло произойти?
Решение:
Поскольку каждая вершина графа имеет ровно один вход и один выход, получим, что граф состоит из непересекающихся циклов по 𝑚 − 1 вершине каждый. Теперь учитывая, что 2023 = 7 ∙ 172 получим, что наименьший цикл состоит из 7 вершин. Таким образом, 𝑚 = 8.
Ответ: 𝑚 = 8