Докажите, что при любом натуральном n значении выражения (n-3)(n+3)-(n+3)(n-11) делится на 8

Вариант 1.

(n - 3)(n + 3) - (n + 3)(n - 11) = (n + 3)(n - 3 - n + 11) = (n + 3) * 8

Таким образом, значение выражения при любом натуральном n делится на 8, и частное равно n + 3.

Вариант 2 — по индукции: При n = 1 выражение равно

-2 * 4 - 4 * (-10) = -8 + 40 = 32

очевидно, это делится на 8. Теперь допустим, что выражение делится на 8 при n. Тогда при n + 1 получаем:

(n + 1 - 3)(n + 1 + 3) - (n + 1 + 3)(n + 1 - 11) =
  = (n - 3)(n + 3) + (n + 3) + (n - 3) + 1 - (n + 3)(n - 11) - (n + 3) - (n - 11) - 1 =
  = (n - 3)(n + 3) - (n + 3)(n - 11) + (n - 3) - (n - 11) =
  = (n - 3)(n + 3) - (n + 3)(n - 11) + 8

Сумма первых двух слагаемых делится на 8 по нашему допущению, а третье слагаемое равно 8 и потому тоже делится на 8. Таким образом, если выражение при n делится на 8, то и при n + 1 оно тоже делится на 8.