На окружности расположены 36 точек, которые делят её на равные дуги. Одна из точек синяя, остальные — красные. Рассматриваются треугольники с вершинами в этих точках, у которых две вершины — красные, одна — синяя. Сколько среди этих треугольников — прямоугольные?

В каждом таком треугольнике, одна сторона лежит на окружности, а другая — на ее диаметре, так как угол, опирающийся на диаметр, всегда прямой. Таким образом, количество искомых треугольников равно количеству точек, лежащих на диаметре окружности.

Для определения этого количества, заметим, что диаметр делит окружность на две равные части, каждая из которых содержит 18 точек (половина от общего числа точек). Если одна из этих частей содержит синюю точку, то диаметр проходит через нее и в этом случае на диаметре лежат 2 точки — синяя и одна из красных. Если же синяя точка лежит в другой части, то на диаметре нет красных точек и он проходит через две синие точки.

Таким образом, искомое количество треугольников равно 51 (если синяя точка лежит на диаметре) или 0 (если синяя точка не лежит на диаметре).

Ответ: 0 или 51 в зависимости от расположения синей точки.