Детям раздали кубики трёх цветов и попросили каждого из них сложить башенку из четырёх кубиков, поставив их друг на друга. Полностью одноцветных башенок быть не должно. Чему равно наибольшее возможное число детей, если башенки у всех получились разные?

Чтобы найти наибольшее возможное число детей, нам нужно посчитать количество возможных башенок, которые могут быть построены из кубиков трёх цветов, учитывая, что полностью одноцветных башенок быть не должно.

Поскольку каждая башенка состоит из четырех кубиков, и кубиков трёх цветов, то каждый кубик может быть одним из трёх цветов. Для первой позиции в башенке есть 3 варианта, для второй позиции — 3 варианта, для третьей позиции — 3 варианта, а для четвертой позиции — 3 варианта. Следовательно, всего существует 3 * 3 * 3 * 3 = 81 возможных комбинаций.

Однако нам нужно исключить полностью одноцветные башенки. Есть 3 возможных одноцветных башенки (красная, синяя и зеленая). Следовательно, количество возможных башенок, которые могут быть построены, равно 81 — 3 = 78.

Поскольку каждая башенка уникальна, наибольшее возможное число детей, которое может построить разные башенки, равно 78.

Чтобы построить башенку из четырех кубиков с разными цветами, нужно выбрать два цвета для двух нижних кубиков и один цвет для верхнего кубика. Это можно сделать следующим образом:

1. Выбираем два цвета для нижних кубиков. Это можно сделать, выбрав два из трех возможных цветов. Таким образом, есть C32=3C32​=3 способа выбрать два цвета для нижних кубиков.
2. Выбираем цвет для верхнего кубика. Это можно сделать, выбрав любой из трех возможных цветов. Таким образом, есть C31=3C31​=3 способа выбрать цвет для верхнего кубика.

Итого, для построения одной башенки есть $3\times 3=9$ различных способов. Чтобы построить башенки для всех детей и сделать их разными, нужно, чтобы каждый ребенок выбрал свой собственный способ построения башенки из девяти возможных. Таким образом, наибольшее возможное число детей, для которых можно построить башенки разными способами, составляет $9$.