Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку B проведены касательные к каждой из окружностей, вторично пересекающие их в точках C и K. Найдите длину хорды AB, если CA=18, KA=32 и касательные перпендикулярны друг другу.

Пусть O1 и O2 — центры окружностей, R1 и R2 — радиусы окружностей.

Поскольку касательные перпендикулярны друг другу, то угол между ними равен 90 градусов.

Треугольник O1BO2 — прямоугольный, поскольку угол между касательными равен 90 градусов.

По теореме Пифагора, O1B^2 + O2B^2 = O1O2^2.

Поскольку CA = 18, KA = 32, то CA + KA = 50.

Треугольник CAB — прямоугольный, поскольку угол между касательными равен 90 градусов.

По теореме Пифагора, CA^2 + AB^2 = CB^2.

Подставив значения, получим 18^2 + AB^2 = 50^2.

Решив уравнение, получим AB = 40.

Следовательно, длина хорды AB равна 40.

Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку B проведены касательные к каждой из окружностей, вторично пересекающие их в точках C и K. Найдите длину хорды AB, если CA=18, KA=32 и касательные перпендикулярны друг другу.

Решение:

1. Определите центр первой окружности (O1) и центр второй окружности (O2) как середины отрезков OC и OK соответственно.
2. Определите радиус первой окружности (r1) как длину O1C и радиус второй окружности (r2) как длину O2K.
3. Так как CA=18 и KA=32, то r1=9 и r2=16.
4. Определите длину AC (a) как 18 и длину AK (b) как 32.
5. По теореме Пифагора, длина O1A (c) равна √(a^2 — r1^2), то есть 15.
6. По теореме Пифагора, длина O2A (d) равна √(b^2 — r2^2), то есть 20.
7. Длина AB (h) может быть найдена по формуле h^2 = c^2 + d^2 — 2cd*cos(θ), где θ — угол между O1A и O2A.
8. Так как касательные перпендикулярны друг другу, то угол θ равен 90 градусам.
9. h^2 = 15^2 + 20^2 — 21520*cos(90) = 225 + 400 = 625.
10. h = √625 = 25.

Ответ: Длина хорды AB равна 25.