В прямоугольном треугольнике с острым углом α катеты равны 5cos α и sin α. Найдите квадрат меньшего катета. Ответ выразите в виде несократимой обыкновенной дроби.

В прямоугольном треугольнике с острым углом α катеты равны 5cos α и sin α. Найдите квадрат меньшего катета. Ответ выразите в виде несократимой обыкновенной дроби.

Решение:

1. Так как в прямоугольном треугольнике катеты перпендикулярны, то sin α — это длина одного катета, а 5cos α — это длина другого катета.
2. Найдите гипотенузу треугольника по теореме Пифагора: c^2 = a^2 + b^2, где c — гипотенуза, а и b — катеты.
3. c^2 = (5cos α)^2 + (sin α)^2 = 25cos^2 α + sin^2 α = 25(1 — sin^2 α) + sin^2 α = 24 — 24sin^2 α.
4. Найдите длину меньшего катета (sin α) по теореме косинуса: a = c*cos α.
5. sin α = c*cos α / c = cos α.
6. Найдите квадрат меньшего катета: (sin α)^2 = (cos α)^2 = 1 — sin^2 α = 1 — (cos α)^2.
7. Так как cos α = sin α, то (sin α)^2 = 1 — (sin α)^2.
8. 2(sin α)^2 = 1, то есть (sin α)^2 = 1/2.

Ответ: Квадрат меньшего катета равен 1/2.