Задание 1. Коля заметил, что для краткой записи дней недели: пн, вт, ср, чт, пт, сб, вс используются 8 букв, из которых «б» встречается 1 раз, «в» 2 раза, «н» 1 раз, «п» 2 раза, «р» 1 раз, «с» 3 раза, «т» 3 раза, «ч» 1 раз. Коля выбрал 53 последовательных дня и для них сосчитал А количество букв «т», и Б количество букв «р», встречавшихся в записи дней недели в выбранный период. Какое наибольшее значение могла принять разность А Б?
Задание 2. Дан квадратный трёхчлен f(x). Известно, что линейная функция y=f(x+1)−f(x) обращается в ноль при x=5. При каком значении аргумента обращается в ноль функция y=f(x+3)−f(x)?
Задание 3. Найдите наименьшее число, начинающееся с цифр 2332 и делящееся на 225.
Задание 4. Ваня выбрал на плоскости 17 точек общего положения, то есть таких, что никакие три из этих точек не лежат на одной прямой, и покрасил две точки в красный цвет, а остальные в зелёный. Через каждые две одноцветные точки он провёл прямую: соответственно, одну красную, остальные зелёные. Какое наименьшее число зелёных прямых может пересечь красная прямая?
Задание 5. Дана окружность ω с центром O. Точки M и N соответственно середины радиусов OA и OB окружности ω. На окружности ω выбраны точки E и F так, что хорда EF проходит через точки M и N. Найдите отношение радиуса окружности ω к длине хорды EF, если известно, что EF:MN=8. В ответ запишите квадрат этого отношения.
Задание 6. На доске написаны не обязательно разные неотрицательные целые числа. Коля вычел из каждого числа 1, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 73. Вася вычел из каждого числа на доске 2, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 74. Наконец Андрей вычел из каждого числа на доске 3, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 95 (каждый осуществлял операции с начальным набором чисел, написанным на доске). Сколько двоек было написано на доске?
Задание 7. На двенадцати карточках написаны числа от 22 до 33 (разные числа на разных карточках). Двум игрокам, А и Б, сообщили об этом и выдали по одной карточке. Игрок может сказать «больше», если уверен, что число на его карточке больше, чем у другого, «меньше», если уверен, что оно меньше. В остальных случаях игрок говорит «пас». Игроки отвечали по очереди: А, затем Б, затем А и т.д. Первым ходил игрок А. Начиная с первого хода были даны последовательные ответы: Пас, Пас, Пас, Пас, Пас, Больше. Какое число было у игрока Б?
Задание 8. На доске нарисованы два правильных шестиугольника. Меньший из них имеет площадь 5454, а наименьшая диагональ большего шестиугольника совпадает с наибольшей диагональю меньшего шестиугольника. Найдите площадь фигуры, образовавшейся в результате пересечения этих двух шестиугольников.