В коробке лежат 9 синих, 9 жёлтых и 10 зелёных карандашей. Какое наибольшее количество красных карандашей можно добавить в коробку, чтобы среди любых 22 выбранных были карандаши по крайней мере трёх различных цветов?

Чтобы найти наибольшее количество красных карандашей, которое можно добавить в коробку, нам нужно рассмотреть наихудший случай, когда мы выбираем 22 карандаша.

Предположим, что мы выбрали 22 карандаша и хотим иметь по крайней мере 3 различных цвета.

Если мы выберем все карандаши одного цвета, то мы можем выбрать максимум 10 карандашей (зеленых), так как это максимальное количество карандашей одного цвета в коробке.

Если мы выберем 10 зеленых карандашей и 10 карандашей другого цвета (например, синих), то у нас останется 2 карандаша, которые мы можем выбрать любого цвета.

Чтобы иметь по крайней мере 3 различных цвета, нам нужно добавить как минимум 1 красный карандаш.

Теперь посчитаем, сколько красных карандашей мы можем добавить:

• Мы можем добавить максимум 10 красных карандашей, так как если мы добавим более 10 красных карандашей, то мы можем выбрать 22 карандаша, состоящие только из красных и синих карандашей.
• Но если мы добавим 10 красных карандашей, то мы можем выбрать 10 зеленых карандашей, 10 синих карандашей и 2 красных карандаша, что дает нам 22 карандаша, состоящие из 3 различных цветов.

Следовательно, наибольшее количество красных карандашей, которое мы можем добавить, равно 10.

Ответ: 10.