Ответ
Задание 1. Аня, Боря и Вова пошли в туристический поход, решив отказаться от телефонов и пользоваться только компасом. Ребятам было известно направление, но не расстояние до ближайшего кемпинга. Аня сказала: «Нам идти не меньше 10 км», Боря ответил: «Нет, думаю, что не больше 8 км», а Вова подытожил: «Нам осталось 8.5 км плюс‑минус 1 км». Впоследствии оказалось, что ровно двое были правы в тот момент. В каком промежутке лежит значение расстояния до кемпинга, которое обсуждали ребята? Ответ выразите в километрах.
(8.5; 9]
[7.5; 8.5]
(7.5; 9)
(8; 8.5)
[9; 10)
[7.5; 8]
Задание 2. Найдите значение выражения
Задание 3. Вася нарисовал в клетчатой тетради квадрат 7×7 со сторонами, идущими по линиям сетки. Внутри этого квадрата он хочет нарисовать другой квадрат с вершинами в узлах сетки (при этом стороны могут не быть параллельны сторонам исходного квадрата). Сколько различных вариантов площадей таких квадратов может получить Вася? Квадрат 7×7 в ответе не учитывать.
Задание 4. В прямоугольный треугольник ABC со сторонами AC=24, BC=7 вписана полуокружность так, как показано на рисунке. Центр полуокружности лежит на стороне AC, полуокружность касается сторон AB и BC.
Найдите расстояние от точки A до точки касания на AB.
Задание 5. На олимпиаде были предложены 4 задачи, каждая из которых оценивалась в 0, 1, 2 или 3 балла. Оказалось, что среди участников нет таких, которые набрали бы одинаковое число баллов хотя бы по двум задачам. Какое наибольшее количество участников могло быть на олимпиаде?
Задание 6. Аня нарисовала на координатной плоскости красным фломастером множество точек (x; y), удовлетворяющих соотношению ∣∣|x|−|y|∣∣=2, а Ваня нарисовал синим фломастером стороны квадрата с вершинами в точках (6; 0), (−6; 0) (0; −6), (0; 6). Сколько точек были покрашены и в синий, и в красный цвет?
Задание 7. Учитель записал на доске четырёхзначное число nn и попросил выписать все его натуральные делители в порядке возрастания. Получился ряд 1, 2, 4, 5, ……, n2, nn. В какой‑то момент в этом ряду встретилось число 323. Какое число выписано сразу за ним?
Задание 8. Есть доска 11×5. Мотя красит каждую клетку в один из трёх цветов —— белый, красный или синий. Когда Мотя закончит, Вова может найти любую одноцветную пару клеток, имеющих общую сторону или вершину, и перекрасить эту пару клеток в зелёный цвет (и так делать до тех пор, пока это возможно). Мотя платит Вове по 10 рублей за каждую зелёную клетку. Сколько денег может гарантированно получить Вова?