На олимпиаде Катя, Мотя, Федя и Паша решали задачи, причём Катя решила на 5 задач больше Феди, а Мотя на 6 задач больше Паши. Все решили разное число задач. Учитель послал в Москву на проверку только

• Катя решила на 5 задач больше Феди, поэтому если Федя решил x задач, то Катя решила x + 5 задач.
• Мотя решила на 6 задач больше Паши, поэтому если Паша решил y задач, то Мотя решила y + 6 задач.
• Все решили разное число задач, поэтому x, x + 5, y и y + 6 — все разные числа.
• Две лучшие работы, отправленные в Москву, содержали в сумме 19 задач. Это означает, что сумма двух самых больших чисел из x, x + 5, y и y + 6 равна 19.

На основе этого анализа мы можем сделать следующие выводы:

• Две лучшие работы не могут содержать x и y, потому что в этом случае x + y ≤ 19, а x + 5 и y + 6 будут больше 19.
• Две лучшие работы не могут содержать x + 5 и y + 6, потому что в этом случае x + 5 + y + 6 > 19.
• Две лучшие работы должны содержать x + 5 и y, потому что в этом случае x + 5 + y = 19.

На основе этого анализа мы можем сделать вывод, что x = 7, y = 7, x + 5 = 12, y + 6 = 13. Тогда x + 5 + y + 6 = 19 + 6 = 25.

Однако это не правильно, потому что x + 5 + y + 6 = 25, а не 19.

Это означает, что x + y + 6 = 19 — 6 = 13.

Тогда x = 7, y = 6.

Таким образом, общее количество задач, которые решили все четыре участника, равно x + y + x + 5 + y + 6 = 7 + 6 + 7 + 6 = 26.

Пусть Катя решила x задач, тогда Федя решил (x-5) задач, Мотя — (x-5+6) = (x+1) задач, а Паша — (x+1-6) = (x-5) задач.

Так как все решили разное число задач, то x, x-5, x+1, x-5 должны быть все различными числами. Это возможно только если x = 7, так как в этом случае Федя и Паша решают по 2 задачи, а Катя — 7, Мотя — 8.

Тогда в двух лучших работах, которые были отправлены в Москву, было решено 7+8=15 задач, а в двух оставшихся — 2+2=4 задачи.

Итого, во всех четырёх работах было решено 15+4=19 задач.

Ответ: 19 задач.