Площадь полной поверхности конуса равна 66. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту пополам. Найдите площадь полной поверхности отсечённого конуса.

Обозначения:

• S_полн_исх – площадь полной поверхности исходного конуса (66)
• S_полн_отс – площадь полной поверхности отсеченного конуса
• r_исх – радиус основания исходного конуса
• l_исх – образующая исходного конуса
• h_исх – высота исходного конуса
• r_отс – радиус основания отсеченного конуса
• l_отс – образующая отсеченного конуса
• h_отс – высота отсеченного конуса

Формулы:

• Площадь полной поверхности конуса: S_полн = πr² + πrl
• Площадь боковой поверхности конуса: S_бок = πrl

Решение:

1. Подобие конусов: Отсеченный конус подобен исходному. Так как высота отсеченного конуса вдвое меньше высоты исходного, коэффициент подобия k = 1/2.
2. Соотношение линейных размеров: Радиусы и образующие отсеченного конуса также будут в 2 раза меньше соответствующих величин исходного конуса:
   • r_отс = (1/2) * r_исх
   • l_отс = (1/2) * l_исх
3. Соотношение площадей: Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия. Следовательно:
   • S_осн_отс = k² * S_осн_исх = (1/2)² * S_осн_исх = (1/4) * S_осн_исх
   • S_бок_отс = k² * S_бок_исх = (1/2)² * S_бок_исх = (1/4) * S_бок_исх
4. Выразим площади полных поверхностей через площадь основания и боковой поверхности:
   • S_полн_исх = S_осн_исх + S_бок_исх = 66
   • S_полн_отс = S_осн_отс + S_бок_отс
5. Подставим соотношения площадей: S_полн_отс = (1/4) * S_осн_исх + (1/4) * S_бок_исх S_полн_отс = (1/4) * (S_осн_исх + S_бок_исх)
6. Заменим выражение (S_осн_исх + S_бок_исх) на S_полн_исх S_полн_отс = (1/4) * S_полн_исх
7. Подставим значение S_полн_исх: S_полн_отс = (1/4) * 66
8. Вычислим: S_полн_отс = 16.5

Ответ:

Площадь полной поверхности отсечённого конуса равна 16,5.