В параллелограмме ABCD точки K и L на стороне AD расположены так, что AK = KL = 3, LD = 4 , точки M и N на стороне BC расположены так, что BM = MN = 4 , NC = 2 . Отрезки KN и LM пересекаются в точке F.

Question

Вопрос. Полная версия

В параллелограмме ABCD точки K и L на стороне AD расположены так, что AK = KL = 3, LD = 4 , точки M и N на стороне BC расположены так, что
BM = MN = 4 , NC = 2 . Отрезки KN и LM пересекаются в точке F.
Найдите отношение площади пятиугольника AKFMB к площади пятиугольника CNFLD.

Ответ

Answer 1

Треугольники KFL и MFN подобны по трём углам =>
KL : MN = 3 : 4 = 3x : 4x — коэффициент подобия
H = h (KFL) + h (MFN) = h1 + h2 = 3x + 4x = 7x

AD = AK+KL+LD = 3+3+4 = 10
S (ABCD) = AD * H = 10 * 7x = 70x — площадь парал-ма

Площади треугольников:
S1 = S (KFL) = 1/2 * KL * h1 = 1/2 * 3 * h1 = 3/2 * 3x = 9x/2
S2 = S (MFN) = 1/2 * MN * h2 = 1/2 * 4 * 4x = 8x

Площади трапеций с боковой стороной KN:
S3 = S (ABNK) = 1/2 * (AK + BN) * H = 1/2 * (3+8) * 7x = 77x/2
S4 = S (KDCN) = 1/2 * (KD + NC) * H = 1/2 * (7+2) * 7x = 63x/2

S (ABMFK) = S (ABNK) — S (MFN) = S3 — S2 = 77x/2 — 8x = 61x/2
S (LFNCD) = S (KDCN) — S (KFL) = S4 — S1 = 63x/2 — 9x/2 = 27x

S (ABMFK) / S (LFNCD) = (61x/2) / 27x = 61/54